高等数学笔记

曾经的难题

极限与连续

极限与连续

一、极限的概念与性质

1. 数列极限（(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = A)）
   定义：对任意(\epsilon > 0)，存在正整数(N)，当(n > N)时，(|a_n - A| < \epsilon)。
   几何意义：数列({a_n})的项无限趋近于常数(A)。
   收敛数列性质：
   唯一性：极限唯一。
   有界性：收敛数列必为有界数列。
   保号性：若(\lim a_n = A > 0)，则存在(N)，当(n > N)时，(a_n > 0)。

2. 函数极限（(\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = A)）
   定义：对任意(\epsilon > 0)，存在(\delta > 0)，当(0 < |x - x_0| < \delta)时，(|f(x) - A| < \epsilon)。
   单侧极限：
   左极限：(\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x) = A^-)
   右极限：(\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x) = A^+)
   极限存在条件：(A^- = A^+ = A)。
   二、极限的计算方法

3. 基本运算法则
   若(\lim f(x) = A)，(\lim g(x) = B)，则：
   (\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B)
   (\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B)
   (\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B})（(B \neq 0)）

4. 重要极限公式
   第一重要极限：(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lim\limits_{\square\to 0} \frac{\sin \square}{\square} = 1)（(\square)代表任意趋于 0 的表达式，如(2x, x^2)等）
   第二重要极限：(\lim\limits_{x\to\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad \Rightarrow \quad \lim\limits_{\square\to\infty} \left(1 + \frac{1}{\square}\right)^\square = e)或 (\lim\limits_{x\to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e)

5. 无穷小与无穷大
   无穷小：(\lim f(x) = 0)（极限为 0 的变量）。
   性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；有界函数与无穷小的积为无穷小。
   阶的比较（设(\alpha, \beta)为同过程无穷小）：
   若(\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0)，则(\beta)是(\alpha)的高阶无穷小（(\beta = o(\alpha))）；
   若(\lim \frac{\beta}{\alpha} = C \neq 0)，则(\beta)与(\alpha)为同阶无穷小；
   若(\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = C \neq 0)，则(\beta)是(\alpha)的k 阶无穷小；
   若(\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1)，则(\beta)与(\alpha)为等价无穷小（(\beta \sim \alpha)）。
   等价无穷小替换（(x\to 0)时）：(\sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}, \quad \ln(1+x) \sim x, \quad e^x - 1 \sim x)

6. 洛必达法则（适用于(\frac{0}{0})或(\frac{\infty}{\infty})型）
   若(\lim \frac{f(x)}{g(x)})为(\frac{0}{0})或(\frac{\infty}{\infty})型，且(\lim \frac{f’(x)}{g’(x)})存在，则：(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f’(x)}{g’(x)})
   注意：需验证条件，可多次使用，但不可对非未定式直接应用。
   三、函数的连续性

7. 连续的定义
   在(x_0)处连续：(\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = f(x_0))，即满足：
   (f(x_0))存在；
   (\lim\limits_{x\to x_0} f(x))存在；
   两者相等。
   单侧连续：左连续（(\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0))）或右连续。
   区间连续：在开区间((a,b))内每点连续；在闭区间([a,b])上左端点右连续、右端点左连续。

8. 间断点的分类
   第一类间断点：左、右极限均存在（包括可去间断点：极限存在但不等于函数值；跳跃间断点：左右极限不等）。
   第二类间断点：左或右极限至少有一个不存在（如无穷间断点、振荡间断点）。

9. 连续函数的性质
   初等函数连续性：初等函数在其定义区间内连续。
   闭区间上连续函数的性质（最值定理、介值定理、零点定理）：
   若(f(x))在([a,b])上连续，则(f(x))在([a,b])上必有最大值和最小值；
   若(f(a) \cdot f(b) < 0)，则存在(\xi \in (a,b))，使得(f(\xi) = 0)（零点定理）。
   四、典型例题
   例 1：计算(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{x^2 + 2x})解：(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{x(x + 2)} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{3x}{x(x + 2)} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{3}{x + 2} = \frac{3}{2})（利用(\sin 3x \sim 3x)（(x\to 0)）进行等价替换）
   例 2：计算(\lim\limits_{x\to\infty} \left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^x)解：(\lim\limits_{x\to\infty} \left(1 + \frac{3}{x - 1}\right)^x = \lim\limits_{x\to\infty} \left[\left(1 + \frac{3}{x - 1}\right)^{\frac{x-1}{3}}\right]^{\frac{3x}{x-1}} = e^3)（变形为第二重要极限形式）
   第二篇：导数与微分
   一、导数的定义与几何意义

10. 导数的定义
    函数在(x_0)处的导数：(f’(x_0) = \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0})若极限存在，则称(f(x))在(x_0)处可导。
    单侧导数：
    左导数：(f’-(x_0) = \lim\limits{\Delta x\to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x})
    右导数：(f’+(x_0) = \lim\limits{\Delta x\to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x})
    可导条件：(f’-(x_0) = f’+(x_0))。

11. 几何意义
    (f’(x_0))表示曲线(y = f(x))在点((x_0, f(x_0)))处的切线斜率。
    切线方程：(y - f(x_0) = f’(x_0)(x - x_0))
    法线方程（若(f’(x_0) \neq 0)）：(y - f(x_0) = -\frac{1}{f’(x_0)}(x - x_0))

12. 物理意义
    变速直线运动中，导数表示瞬时速度：(v(t) = s’(t))。
    二、导数的计算法则

13. 基本初等函数导数公式
    函数(f(x))
    导数(f’(x))
    (C)（常数）
    (0)
    (x^\mu)
    (\mu x^{\mu - 1})
    (\sin x)
    (\cos x)
    (\cos x)
    (-\sin x)
    (e^x)
    (e^x)
    (a^x)
    (a^x \ln a)
    (\ln x)
    (\frac{1}{x})
    (\log_a x)
    (\frac{1}{x \ln a})

14. 四则运算法则（设(u(x), v(x))可导）
    ((u \pm v)’ = u’ \pm v’)
    ((uv)’ = u’v + uv’)
    (\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v - uv’}{v^2})（(v \neq 0)）

15. 复合函数求导法则（链式法则）
    若(y = f(u))，(u = g(x))，且(f, g)可导，则：(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f’(u) \cdot g’(x))推广：多层复合函数可逐层求导相乘（如(y = f(g(h(x))))，则(y’ = f’(g(h(x))) \cdot g’(h(x)) \cdot h’(x))）。

16. 隐函数求导法
    对由方程(F(x, y) = 0)确定的隐函数(y = y(x))，两边对(x)求导，解出(y’)。例：求(y^2 + xy + 3x = 9)在(x=1, y=2)处的导数。解：两边求导得 (2y y’ + y + x y’ + 3 = 0)，解得 (y’ = -\frac{y + 3}{2y + x})，代入得(y’ = -1)。

17. 参数方程求导法
    若(\begin{cases} x = \varphi(t) \ y = \psi(t) \end{cases})，(\varphi(t), \psi(t))可导且(\varphi’(t) \neq 0)，则：(\frac{dy}{dx} = \frac{\psi’(t)}{\varphi’(t)}, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\psi’(t)}{\varphi’(t)}\right) \cdot \frac{1}{\varphi’(t)})
    三、高阶导数

18. 定义
    二阶导数：(f’’(x) = (f’(x))’)，表示导数的导数。
    (n)阶导数：(f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))’)（(n \geq 2)）。

19. 常用公式
    ((e^x)^{(n)} = e^x)
    ((\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right))
    ((\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right))
    ((\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n})

20. 莱布尼茨公式
    设(u(x), v(x))均(n)阶可导，则：((uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)})其中(u^{(0)} = u)，(v^{(0)} = v)，(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!})为组合数。
    四、微分的概念

21. 微分的定义
    若函数(y = f(x))在(x_0)处的增量可表示为：(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A \Delta x + o(\Delta x))其中(A)与(\Delta x)无关，则称(A \Delta x)为(f(x))在(x_0)处的微分，记作(dy = A \Delta x)。
    关系：(dy = f’(x_0) dx)（其中(dx = \Delta x)为自变量的微分）。

22. 微分的几何意义
    微分(dy)是曲线在点((x_0, f(x_0)))处切线的纵坐标增量。

23. 微分运算法则
    (d(u \pm v) = du \pm dv)
    (d(uv) = v du + u dv)
    (d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v du - u dv}{v^2})
    复合函数微分：(dy = f’(u) du)（一阶微分形式不变性）。
    五、典型例题
    例 1：求(y = e^{\sin^2 x})的导数解：(y’ = e^{\sin^2 x} \cdot 2\sin x \cos x = e^{\sin^2 x} \sin 2x)（链式法则：外层(e^u)，内层(u = \sin^2 x = (\sin x)^2)）
    例 2：求参数方程(\begin{cases} x = e^t \cos t \ y = e^t \sin t \end{cases})在(t=0)处的切线方程解：(\frac{dy}{dx} = \frac{y’_t}{x’_t} = \frac{e^t(\sin t + \cos t)}{e^t(\cos t - \sin t)} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t})当(t=0)时，(\frac{dy}{dx} = 1)，对应点((1, 0))，切线方程为(y = x - 1)。
    六、总结
    导数是函数的变化率，微分是函数增量的线性近似，二者通过(f’(x) = \frac{dy}{dx})关联。
    求导时需熟练掌握基本公式、四则运算、链式法则，针对隐函数和参数方程灵活应用对应方法。
    高阶导数和莱布尼茨公式在泰勒展开、微分方程等后续内容中有重要应用，需牢记常用函数的高阶导数公式。

做过的笔记

积分学基础

积分学基础

一、不定积分

1. 不定积分的定义
   原函数：若(F’(x) = f(x))，则称(F(x))为(f(x))的一个原函数。
   不定积分：(f(x))的所有原函数的集合，记作(\int f(x) dx = F(x) + C \quad (C为任意常数))
   几何意义：表示一族曲线，彼此之间相差一个常数（垂直平移）。

2. 基本积分公式（与导数公式对应）
   积分公式
   积分公式
   (\int 0 dx = C)
   (\int x^\mu dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C \ (\mu \neq -1))
   $\int \frac{1}{x} dx = \ln
   x
   (\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C)
   (\int \sin x dx = -\cos x + C)
   (\int \cos x dx = \sin x + C)
   (\int \sec^2 x dx = \tan x + C)
   (\int \csc^2 x dx = -\cot x + C)
   (\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C)
   (\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C)

3. 积分法则
   线性性质：(\int [k f(x) \pm g(x)] dx = k \int f(x) dx \pm \int g(x) dx \ (k为常数))
   换元积分法：
   第一类换元法（凑微分）：若(\int f(u) du = F(u) + C)，且(u = \varphi(x))可导，则(\int f(\varphi(x)) \varphi’(x) dx = F(\varphi(x)) + C)例：(\int \cos(2x) dx = \frac{1}{2} \int \cos(2x) d(2x) = \frac{1}{2} \sin(2x) + C)
   第二类换元法：令(x = \psi(t))（(\psi(t))单调可导，(\psi’(t) \neq 0)），则(\int f(x) dx = \int f(\psi(t)) \psi’(t) dt \ （积分后回代t = \psi^{-1}(x)）)常用代换：三角代换（(\sqrt{a^2 - x^2})用(x = a\sin t)）、根式代换（(\sqrt[n]{ax + b})用(t = \sqrt[n]{ax + b})）。
   分部积分法：(\int u dv = uv - \int v du)选取原则：(u)的导数简化，(dv)易积分。例：(\int x e^x dx)，令(u = x)，(dv = e^x dx)，则(du = dx)，(v = e^x)，(\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C)
   二、定积分

4. 定积分的定义（黎曼积分）
   几何背景：曲边梯形面积(\lim\limits_{\lambda\to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i)，其中(\lambda = \max{\Delta x_i})。
   数学定义：(\int_a^b f(x) dx = \lim\limits_{\lambda\to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i)
   存在条件：(f(x))在([a,b])上连续或仅有有限个第一类间断点。

5. 定积分的性质
   线性性质：(\int_a^b [k f(x) \pm g(x)] dx = k \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx)
   区间可加性：(\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx \ （c在a,b之间）)
   保序性：若(f(x) \leq g(x))在([a,b])上成立，则(\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx)
   估值定理：若(m \leq f(x) \leq M)，则(m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a))
   积分中值定理：存在(\xi \in [a,b])，使得(\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b - a))

6. 微积分基本定理
   牛顿 - 莱布尼茨公式（N-L 公式）：若(f(x))在([a,b])上连续，(F(x))是(f(x))的原函数，则(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(x)\big|a^b)
   变上限积分求导：若(f(x))连续，(\Phi(x) = \int_a^x f(t) dt)，则(\Phi’(x) = f(x))。推广：(\frac{d}{dx} \int{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t) dt = f(\psi(x))\psi’(x) - f(\varphi(x))\varphi’(x))。
   三、定积分的计算方法

7. 直接积分法
   利用 N-L 公式，先求不定积分再代入上下限。例：(\int_0^\pi \sin x dx = -\cos x\big|_0^\pi = -(\cos\pi - \cos 0) = 2)。

8. 换元积分法
   定积分换元需同时改变积分限：令(x = \psi(t))，当(x=a)时(t=\alpha)，(x=b)时(t=\beta)，则(\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(\psi(t)) \psi’(t) dt)例：(\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx)，令(x = \sin t)（(t \in [0, \frac{\pi}{2}])），(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2t) dt = \frac{\pi}{4})

9. 分部积分法
   (\int_a^b u dv = uv\big|_a^b - \int_a^b v du)例：(\int_0^1 x e^x dx = x e^x\big|_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e - 1) = 1)。
   四、定积分的应用

10. 平面图形面积
    直角坐标系：
    曲线(y = f(x))与(y = g(x))（(f(x) \geq g(x))）在([a,b])间的面积：(A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx)
    参数方程(\begin{cases} x = \varphi(t) \ y = \psi(t) \end{cases})（(t \in [\alpha, \beta])）的面积：(A = \int_\alpha^\beta |\psi(t) \varphi’(t)| dt)
    极坐标系：曲线(r = r(\theta))在([\alpha, \beta])内的面积：(A = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2(\theta) d\theta)

11. 旋转体体积
    绕 x 轴旋转：曲线(y = f(x))与(x)轴在([a,b])间旋转的体积：(V_x = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx)
    绕 y 轴旋转（壳层法）：(V_y = 2\pi \int_a^b x |f(x)| dx)

12. 反常积分（广义积分）
    无穷限积分：(\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim\limits_{b\to+\infty} \int_a^b f(x) dx)(\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim\limits_{a\to-\infty} \int_a^b f(x) dx)(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{+\infty} f(x) dx)
    无界函数积分（瑕积分）：若(f(x))在(x = a)处无界，(\int_a^b f(x) dx = \lim\limits_{\epsilon\to 0^+} \int_{a+\epsilon}^b f(x) dx \ （a为瑕点）)例：(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \lim\limits_{\epsilon\to 0^+} 2\sqrt{x}\big|_\epsilon^1 = 2)（收敛）。
    五、典型例题
    例 1：计算(\int \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} dx)解：(\int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} dx = \int \frac{d(x - \frac{1}{x})}{(x - \frac{1}{x})^2 + 2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{2}}\right) + C)（分子分母同除以(x^2)，凑微分(d(x - 1/x) = (1 + 1/x^2)dx)）
    例 2：计算(\int_0^{\ln 2} \sqrt{e^x - 1} dx)解：令(t = \sqrt{e^x - 1})，则(x = \ln(t^2 + 1))，(dx = \frac{2t}{t^2 + 1} dt)，当(x=0)时(t=0)，(x=\ln 2)时(t=1)，(\int_0^1 t \cdot \frac{2t}{t^2 + 1} dt = 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{t^2 + 1}\right) dt = 2\left(t - \arctan t\right)\big|_0^1 = 2 - \frac{\pi}{2})
    六、总结
    不定积分是微分的逆运算，核心是掌握换元和分部积分法，熟记基本公式。
    定积分通过极限定义，N-L 公式架起了定积分与原函数的桥梁，计算时需注意换元后的积分限变化。
    应用部分重点掌握面积和体积的计算方法，反常积分需判断收敛性并正确处理极限。
    积分学是后续多元积分、微分方程的基础，需通过大量练习提升计算熟练度和方法灵活性。

攀过的高山

多元函数微积分

多元函数微积分

一、多元函数的基本概念

1. 二元函数的定义
   定义域：设(D)为平面上的非空点集，若对每个((x, y) \in D)，存在唯一实数(z)与之对应，则称(z = f(x, y))为二元函数，(D)为定义域。
   几何意义：二元函数表示空间曲面，定义域(D)为曲面在(xy)平面的投影。
2. 二元函数的极限（(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = A)）
   定义：对任意(\epsilon > 0)，存在(\delta > 0)，当(0 < \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta)时，(|f(x,y) - A| < \epsilon)。
   注意：极限存在要求点((x,y))以任意路径趋近于((x_0,y_0))时，极限均为(A)（与一元函数的单侧极限不同）。
   常用方法：利用极坐标变换（令(x = x_0 + r\cos\theta), (y = y_0 + r\sin\theta)，分析(r\to 0)时的极限）。
3. 二元函数的连续性
   定义：若(\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0))，则(f(x,y))在((x_0,y_0))处连续。
   性质：连续函数的和、差、积、商（分母不为 0）仍连续；复合函数连续；有界闭区域上的连续函数必取得最大值和最小值（多元最值定理）。
   二、偏导数与全微分
4. 偏导数的定义
   一阶偏导数：
   对(x)的偏导数：(f_x’(x_0,y_0) = \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x})
   对(y)的偏导数类似，记作(f_y’(x_0,y_0))。
   几何意义：(f_x’(x_0,y_0))表示曲面(z=f(x,y))与平面(y=y_0)的交线在该点处的切线斜率（沿(x)轴方向）。
   高阶偏导数：
   二阶偏导数（四种）：(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, \ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x})
   混合偏导数相等条件：若(f_{xy}’’)和(f_{yx}’’)在区域内连续，则(f_{xy}’’ = f_{yx}’’)。
5. 全微分
   定义：若二元函数的增量可表示为(\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y) = A\Delta x + B\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}))其中(A, B)与(\Delta x, \Delta y)无关，则称(A\Delta x + B\Delta y)为全微分，记作(dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy)
   存在条件：
   必要条件：若(f(x,y))可微，则偏导数(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y})存在，且(A = \frac{\partial z}{\partial x}, B = \frac{\partial z}{\partial y})。
   充分条件：若偏导数连续，则函数可微。
   三、复合函数与隐函数求导法则
6. 复合函数求导（链式法则）
   情形 1：(z = f(u,v))，(u = u(x,y))，(v = v(x,y))，则(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x})(\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y})（树形图：(z)依赖(u,v)，(u,v)依赖(x,y)，求导时沿所有路径相加）。
   情形 2：(z = f(u,x,y))，(u = u(x,y))，则(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial x})（注意区分 “偏导” 与 “全导”，此处(\frac{\partial f}{\partial x})表示(f)对显式变量(x)的偏导）。
7. 隐函数求导
   一个方程的情形：
   由(F(x,y) = 0)确定(y = y(x))，则(\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x’}{F_y’} \quad (F_y’ \neq 0))
   由(F(x,y,z) = 0)确定(z = z(x,y))，则(\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x’}{F_z’}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y’}{F_z’})
   方程组的情形（如(\begin{cases} F(x,y,u,v)=0 \ G(x,y,u,v)=0 \end{cases})）：需用克莱姆法则，对每个方程求偏导后解线性方程组。
   四、多元函数的极值
8. 无条件极值（内部极值）
   驻点：偏导数(\frac{\partial f}{\partial x} = 0)且(\frac{\partial f}{\partial y} = 0)的点。
   极值判定（二阶导数检验法）：设((x_0,y_0))为驻点，令(A = f_{xx}’’(x_0,y_0), \ B = f_{xy}’’(x_0,y_0), \ C = f_{yy}’’(x_0,y_0))
   若(AC - B^2 > 0)且(A > 0)，则为极小值点；
   若(AC - B^2 > 0)且(A < 0)，则为极大值点；
   若(AC - B^2 < 0)，则为鞍点（非极值）；
   若(AC - B^2 = 0)，检验法失效，需进一步分析。
9. 条件极值（拉格朗日乘数法）
   问题：求(f(x,y))在约束条件(\varphi(x,y) = 0)下的极值。
   方法：构造拉格朗日函数(L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \varphi(x,y))解方程组：(\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} f_x’ + \lambda \varphi_x’ = 0 \ f_y’ + \lambda \varphi_y’ = 0 \ \varphi(x,y) = 0 \end{cases})解得的驻点结合实际问题判断是否为极值。
   五、重积分（以二重积分为例）
10. 二重积分的定义
    几何意义：曲顶柱体体积，即(\iint_D f(x,y) d\sigma = \lim\limits_{\lambda\to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i) \Delta \sigma_i)其中(D)为平面区域，(\Delta \sigma_i)为小区域面积，(\lambda)为最大直径。
11. 二重积分的计算
    直角坐标系：
    (X)型区域（先积(y)后积(x)）：(D: a \leq x \leq b, \ y_1(x) \leq y \leq y_2(x))(\iint_D f(x,y) d\sigma = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) dy)
    (Y)型区域（先积(x)后积(y)）：(D: c \leq y \leq d, \ x_1(y) \leq x \leq x_2(y))(\iint_D f(x,y) d\sigma = \int_c^d dy \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) dx)
    极坐标系（适用于圆形、环形区域）：(x = r\cos\theta, \ y = r\sin\theta, \ d\sigma = r dr d\theta)
    区域(D: \alpha \leq \theta \leq \beta, \ r_1(\theta) \leq r \leq r_2(\theta))，则(\iint_D f(x,y) d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr)
    对称性简化：
    若(D)关于(x)轴对称，(f(x,-y) = -f(x,y))，则积分值为 0；
    若(f(x,-y) = f(x,y))，则积分等于 2 倍(D)在上半区域的积分。
    六、典型例题
    例 1：求(z = x^2 \sin(xy))的二阶混合偏导数(f_{xy}’’)解：(\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \sin(xy) + x^2 y \cos(xy))(\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = 2x^2 \cos(xy) + x^2 \cos(xy) - x^3 y \sin(xy) = 3x^2 \cos(xy) - x^3 y \sin(xy))
    例 2：求(f(x,y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x)的极值解：
    求驻点：(\begin{cases} f_x’ = 3x^2 + 6x - 9 = 0 \ f_y’ = -3y^2 + 6y = 0 \end{cases} \Rightarrow (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2))
    二阶导数：(A = f_{xx}’’ = 6x + 6, \ B = f_{xy}’’ = 0, \ C = f_{yy}’’ = -6y + 6)
    判定：
    点((1,0))：(A=12, C=6, AC-B^2=72>0)，极小值(f(1,0)=-5)；
    点((-3,2))：(A=-12, C=-6, AC-B^2=72>0)，极大值(f(-3,2)=31)；
    其余点为鞍点（如((1,2))：(AC-B^2=-72<0)）。
    例 3：计算(\iint_D e^{x^2 + y^2} d\sigma)，其中(D)为单位圆(x^2 + y^2 \leq 1)解：极坐标变换：(\iint_D e^{r^2} r dr d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r e^{r^2} dr = 2\pi \cdot \frac{1}{2} e^{r^2}\big|_0^1 = \pi(e - 1))
    七、总结
    多元函数的极限、连续、可导（偏导数）、可微的关系比一元函数更复杂，需注意条件的强弱（可微(\Rightarrow)连续且偏导数存在，但反之不成立）。
    求导法则中，链式法则和隐函数求导是重点，需通过树形图理清变量间的依赖关系。
    极值问题需区分无条件极值和条件极值，拉格朗日乘数法是解决约束优化的核心方法。
    二重积分计算的关键是区域划分和坐标系选择，对称性的利用可简化运算。
    多元微积分是后续曲线曲面积分、场论的基础，需熟练掌握偏导数和积分的几何意义及物理应用。